第3讲：圆锥曲线中四点共圆（完整文档）

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　 第 第 3 讲：圆锥曲线中的四点共圆 1. 基础知识：

　（ （1 ）圆锥曲线四点共圆：

　若两条直线 ) 2 , 1 )( ( :0 0    i x x k y y li i与 与 二次曲线2 2: 0( ) ax by cx dy e a b        有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是 02 1  k k .

　 （2 ）相交弦定理：

　2. 典例（2021 新高考 1 卷）

　在平面直角坐标系 xOy 中，已知点  117,0 F  、 2 1 217,0 2 F MF MF   ，点 M 的轨迹为 C . （ （1 ）求 C 的方程； （ （2 ）设点 T 在直线12x  上，过 T 的两条直线分别交 C 于 A 、 B 两点和 P ， Q 两点，且 TA TB TP TQ    ，求直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和. 解析：因为1 2 1 22 2 17 MF MF FF     ， ， 所以，轨迹 C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支， 设轨迹 C 的方程为 2 22 21 0, 0x ya ba b    ，则 2 2 a ，可得 1 a  ，217 4 b a   ， ， 所以，轨迹 C 的方程为 221 116yx x    ； ； （ （2 ）设点1,2T t   ，若过点 T 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线 C 无公共点， 不妨直线 AB 的方程为112y t k x     ，即1 112y k x t k    ， ， 联立1 12 21216 16y k x t kx y   ，消去 y 并整理可得   22 21 1 1 1116 2 16 02k x k t k x t k         ， ， 设点  1 1, A x y 、  2 2, B x y ，则112x  且212x  .

　由韦达定理可得21 11 221216k ktx xk ，211 221116216t kx xk    ， ， 所以，     2 212 21 21 1 2 1 1 22112 11 1 11 12 2 2 4 16t kx xTA TB k x x k x xk                 ， ， 设直线 PQ 的斜率为2k ，同理可得  2 222212 116t kTP TQk  ， ， 因为 TA TB TP TQ    ，即     2 2 2 21 22 21 212 1 12 116 16t k t kk k    ，整理可得2 21 2k k  ， ， 即   1 2 1 20 k k k k    ，显然1 20 k k   ，故1 20 k k   . 因此，直线 AB 与直线 PQ 的斜率之和为 0 . 3. 练习

　(2016 年高考四川卷第 20 题) 已知椭圆 E ：

　 2 22 21 0x ya ba b    的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点13,2P   在椭圆 E 上 上. (1) 求椭圆 E 的方程； (2) 设不过原点 O 且斜率为12的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A ， B ，线段 AB 的中点为 M ，直线OM 与椭圆 E 交于 C ， D ，证明：

　MA MB MC MD    . 解 解

　(1)( 过程略) 椭圆 E 的方程是2214xy   . (2)设 设1, 1( ) A x y ，2 2( , ) B x y ， 线段 AB 的中点为0 0( , ) M x y . 可得2 22 21 21 21, 14 4x xy y     ，把它们相减后分解因式( 即点差法) ，再得 1 2 1 21 2 1 2( )( )( )( )4x x x xy y y y    0 1 2 1 21 2 1 2 012 4( ) 4ABx y y x xkx x y y y       0012CDykx   所 以0AB CDk k   论 ，由推论 1 得 得 , , , A B C D 四点共圆. 再由相交弦定理，立得 = MA MB MC MD   .

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